¿Qué pasa si no pago unas facturas de una inmobiliaria que no están a mi nombre?

Hola, como nuevo inquilino, alquilé un piso y no podía cambiar de titular del contrato de electricidad porque me pedían unos boletines. La inmobiliaria pasaba de mí y al mes más o menos conseguí que entregasen los boletines pero no podía cambiar de titular por no tener las facturas anteriores del anterior inquilino.

Al cabo de otro mes supuestamente me lo solucionaron ya podía cambiarlos, pero no pude tampoco por las facturas. Le pedí a la inmobiliaria que me solucionasen el problema y no hicieron nada.

Al cabo de medio año más me cortaron la luz por no pagar esas facturas que no estaban a mi nombre. Me quejé bastante hasta que me hicieron el cambio. Tuve problemas en el trabajo por no tener despertador, tuve que tirar comida, etc. Ahora me reclama la inmobiliaria la cantidad que se consumió en ese periodo.

Mi pregunta es, ¿qué pasa si no se las pago? ¿Están en su derecho cobrarme esa cantidad descontándomelo de la fianza?

Quisiera no pagarla por su incompetencia ya que también he tenido más problemas con ellos por su falta de interés en solucionar problemas que ya tenía el piso que supuestamente deberían estar bien como el calentador de agua que estaba roto cuando entré al piso y me tiré 2 semanas sin agua caliente en pleno invierno y nunca quisieron atenderme y más cosas rotas que aun estoy esperando a que me las pongan como bombillas, el váter, etc.