¿Puedo tener la custodia total de mi hijo o quitarle la paternidad?

Tengo un menor de 1 y 8 meses y el padre no me ayuda, solo me apoyó 8 meses porque yo lo buscaba para la ayuda y lo demandé por pensión alimentaria, pero me daba cuando quería, así que la licenciada me aconsejó retirar la demanda y esperar 6 meses y pedir la custodia total, incluyó que no lo venía a ver ,y ahora resulta que tiene como 5 meses que se fue de la cuidad. Yo lo mantengo sola y a veces vienen sus abuelos a verlo, pero el padre nada...