¿Puede su padre reclamar la custodia viviendo en otro país?

Buenas tardes:
Primeramente, para que se pudiera firmar ese convenio regulador, la paternidad biológico debería ser determinada judicialmente.
Es decir, si su hijo está inscrito con otro señor como su padre, llevando el apellido de este señor, antes de hacer nada de lo que plantea, el padre biológico tendría que presentar una demanda de paternidad, para que el hijo pase a ser legalmente su hijo, llevando su apellido. Si Ud. está conforme, se podría allanar a la demanda para que el procedimiento fuera más rápido.

Una vez hecho lo anterior, ya podrían firmar el convenio regulador en los términos que hayan pactado, para proceder a homologarlo judicialmente, alcanzando plena validez legal. En dicho convenio se establecería el régimen de custodia, de visitas, la pensión, así como cuantas cláusulas deseen pactar. Entre las mismas se puede incluir una prohibición de salida del país sin consentimiento expreso de ambos cónyuges. Además, a partir precisamente de hoy jueves entra en vigor un cambio legal que exige para la expedición del pasaporte de menores de edad la autorización expresa de ambos progenitores. No obstante, ello no afectaría a Suiza, a donde se puede viajar con el DNI.
En definitiva, por lo que se refiere a la custodia compartida, sería muy muy poco probable que si no llegaran a un acuerdo se la fueran a conceder viviendo en otro país.
Pero sobre todo, Uds, podrían dejar firmado un "Preacuerdo" antes de que él presentara la demanda de paternidad, con la condición de respetarlo posteriormente en el convenio regulador, para que Ud. le facilite el proceso de paternidad.

Sería bueno que contratara a un abogado especializado para que le lleve todo este asunto, por lo que quedamos a su disposición.
Saludos cordiales.