¿Es posible cambiar mi nombre y mis apellidos por otros totalmente diferentes?

No es posible. A lo sumo podrías alterar el orden de los apellidos. No obstante si has sido víctima de violencia de género sí podrías hacerlo. En caso contrario, para alegar esa causa justa, debes hacerlo ante el Registrador del Reg. Civil, si te lo deniega deberías acudir al Ministerio de Justicia para intentar demostrar esa "causa justa" para el cambio de identidad.
Es un proceso nada sencillo ya que se trata de un tema delicado por cuestiones de identificación y seguridad en todos los campos.