¿Cómo se debe reclamar indemnización por despido improcedente?

Tengo sentencia firme de despido improcedente con salarios de tramitación y tengo presentado en el juzgado la ejecución de la sentencia. Mi pregunta es si se tiene que notificar en el juzgado a la empresa y cuánto tiempo tarda ese proceso y si es necesario ese proceso, pues yo pensé que era automático, una vez pasado el plazo de recurso y no tener ellos opción por la readmisión, ya que era representante de los trabajadores. Un saludo