Coche segunda mano con avería

Compré un coche hace a penas unos días, el vendedor es un compraventa de Barcelona, se hizo ameno y facilitó todo, pero igual demasiado ameno, al dar paga de señal me hago un recibo con sello de la empresa, y a los días hago la transferencia y me entrega el coche. Me manda por whatsapp el justificante conforme la gestoría está gestionando el cambio de nombre, pero al llegar a casa me percato que no tengo contrato de compraventa firmado, lo llamo me dice que no me preocupe que eso lo lleva la gestoría y que me dará el contrato cuando esté el cambio de nombre hecho.
Llamo a los dos días diciendole que necesito el contrato para unos temas mios y igual me da largas me dice que cuando se acabe el cambio de nombre tendré el contrato.
Enfin , el problema viene ahora al 4o día veo que hay una fuga importante de aceite en todo el motor.. lo llevo a taller de confianza , me dicen que pierde por el turbo y por la tapa de balancines, 1400€ aprox.
Qué debería hacer, esperar a tener el contrato de compraventa para asegurarme que lo tengo y reclamarle vicios ocultos para llegar a un acuerdo? La cuestión es que pienso que esta venta la va a hacer de particular a particular y no por su servicio de compraventa, lo que me daría solo 6 meses de vicios ocultos, aun que no ha pasado ni una semana… necesito consejo o dejarlo en manos de alguna empresa de abogados que sepa guiarme.